Ученые нашли способ связать гипотезу Римана 167-летней давности с поведением квантовых систем. Эксперимент на пятикубитном процессоре показал, что нетривиальные нули дзета-функции соответствуют динамическим квантовым фазовым переходам. Это открытие не доказывает гипотезу, но предлагает принципиально новый масштабируемый метод для ее проверки, который требует значительно меньше ресурсов, чем классические вычисления.
Гипотеза Римана — одна из самых известных нерешенных задач в математике. Ее сформулировал немецкий ученый Бернхард Риман еще в 1859 году, и с тех пор никому не удалось ни доказать, ни опровергнуть это утверждение. От нее зависит множество других математических теорий, а также некоторые разделы криптографии. Если гипотеза верна — значит, верны и тысячи теорем, которые на нее опираются. Если нет — математикам придется пересматривать огромный пласт знаний.
Суть гипотезы довольно проста для понимания. Она касается так называемой дзета-функции — бесконечного ряда чисел, который тесно связан с распределением простых чисел. Риман предположил, что все нетривиальные (то есть особые) нули этой функции лежат ровно на одной прямой в комплексной плоскости. Однако строгого математического доказательства этому до сих пор нет.
Физики уже давно подозревали, что эти загадочные нули могут иметь отношение к законам квантовой механики. Еще в прошлом веке выдвигалась идея, что нули дзета-функции можно сопоставить с энергетическими уровнями какой-то неизвестной квантовой системы. Но найти такую систему оказалось крайне сложно.
Авторы нового исследования, опубликованного в журнале Nature Communications, пошли другим путем. Вместо энергии они решили использовать время. Они предложили связать нули дзета-функции с так называемыми динамическими квантовыми фазовыми переходами — моментами, когда квантовая система резко меняет свои свойства в процессе эволюции.
Время, в отличие от сложных энергетических расчетов, удобно тем, что его легко контролировать в эксперименте. Ученые создали две квантовые системы, где действительная часть аргумента дзета-функции соответствовала температуре, а мнимая — времени. В такой модели фазовый переход может произойти только при строго определенных условиях: когда система находится на критической линии (действительная часть равна 1/2) и в момент, соответствующий одному из нулей функции.
Чтобы проверить эту идею, ученые использовали небольшой квантовый процессор на основе ядерного магнитного резонанса — всего с пятью кубитами. Один из кубитов служил зондом, который показывал, что происходит с системой. Когда параметры системы настраивали на критическую линию и на первый из нетривиальных нулей, сигнал зонда полностью исчезал. Это и было тем самым квантовым фазовым переходом. Если же условия не совпадали — ничего подобного не происходило.
Затем ученые проверили ту же закономерность на второй системе, но уже с помощью компьютерного моделирования. Им удалось проследить соответствие вплоть до триллионного нуля — и чем дальше, тем точнее совпадали предсказанные и реальные значения.
Авторы работы подчеркивают: это не является строгим доказательством гипотезы Римана. Эксперимент и моделирование охватывают лишь конечное число случаев, а не все бесконечное множество. Однако главная ценность исследования в другом.
Они предложили принципиально новый инструмент. Обычные компьютеры не справляются с проверкой очень далеких нулей — вычисления становятся слишком сложными и требуют огромных ресурсов. Предложенный же квантовый подход обходится полиномиальными (то есть значительно меньшими) затратами. Это значит, что с развитием технологий таким способом можно будет исследовать все новые и новые нули, постепенно приближаясь к ответу.
В планах у команды — масштабировать систему, перейти от пяти кубитов к более мощным платформам. Кроме того, они надеются, что аналогичный подход поможет в решении и других нерешенных математических проблем, а также найдет применение в физике — например, для изучения свойств черных дыр или вычислений в теории струн. Идея в том, что у многих сложных математических абстракций могут быть свои «физические двойники», которые однажды удастся обнаружить в квантовых системах.
Читайте также: «Проблема Эйнштейна» привела к открытию новых оптических эффектов.